McClellan - ทฤษฎีของรามานุจัน
 
Home
ทฤษฎีของรามานุจัน
Contact
Link Blog


มติชน

คุณจ้อ วี ทีม www.vcharkarn.com

นักศึกษาหนุ่มวัย 25 ปี Karl Mahlburg แห่ง University of Wisconsin เมือง Madison ประเทศสหรัฐอเมริกา สามารถแก้ปัญหาสำคัญทางคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน หรือ Number theory ได้สำเร็จ ปัญหาดังกล่าวค้นพบโดย รามานุจัน อัจฉริยะคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้เป็นตำนาน (Srinivasa Ramanujan)


บิดาแห่งทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ รามานุจัน เสียชีวิตไปเมื่อปี ค.ศ. 1920 ขณะมีอายุได้เพียงแค่ 32 ปี เขามีด้านคณิตศาสตร์มากมาย แต่รามานุจันมีชื่อเสียงมากในการสังเกตรูปแบบที่น่าสนใจของตัวเลข โดยเฉพาะวิธีที่ตัวเลขหนึ่งๆ สามารถเขียนในรูปผลรวมของตัวเลขอื่นที่มีค่าน้อยกว่า ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า Partition


ตัวอย่างเช่น "เลข 4" มีอยู่ 5 Partition นั่นคือมีชุดตัวเลขจำนวนเต็มอยู่ 5 ชุดที่บวกกันแล้วได้เท่ากับ "4" ในจำนวนนี้มี 4, 3+1, 2+2, 1+1+2 และ 1+1+1+1 สิ่งที่น่าสนใจและทำให้ Partition น่าศึกษาคือ มันเริ่มต้นง่าย แต่เปลี่ยนเป็นยากมหาศาลได้อย่างรวดเร็ว จะสังเกตได้เห็นว่าในขณะที่ "เลข 4" มีเพียง 5 Partition "เลข 10" มี 42 Partition และเมื่อไปถึง "เลข 100" จำนวน Partition ของ "เลข 100" มีอยู่ถึง 190,569,292 Partitions รามานุจันได้เขียนแจกแจง Partition ของเลขจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 200 ซึ่งทำให้เขาพบปรากฏการณ์ที่สวยงามอย่างน่าประหลาด


เขาพบว่า สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 4 หรือ 9 (เช่น 4, 9, 14, 19, … ) จำนวน Partition ของจำนวนเต็มนั้นจะหารด้วย 5 ลงตัวเสมอ เช่น "เลข 4" มี 5 Partition "เลข 9" มี 30 Partition "เลข 14" มี 135 Partition เป็นต้น

ทำนองเดียวกัน เริ่มต้นจาก "เลข 5" ตัวเลขที่อยู่ในลำดับถัดออกไปทุกๆ เจ็ดตัว( เช่น 12, 19,…) จะมีจำนวน Partition ที่หารด้วย 7 ลงตัวเสมอ และถ้าเริ่มต้นจาก "เลข 6" ตัวเลขที่อยู่ในลำดับถัดออกไปอีกทุกๆ สิบเอ็ดตัว(เช่น 17, 28,…) จะมีจำนวน Partition ที่หารด้วย 11 ลงตัวเสมอ


ความสัมพันธ์อันน่าประหลาดระหว่างตัวเลขเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์เรียกว่า Ramanujan "congruence" ค้นพบโดยบังเอิญ นักคณิตศาสตร์ใช้ความพยายามเป็นเวลานานหลายปี พยายามเข้าใจว่าความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้นอย่างไร และเหตุใดจึงมี congruence เพียงแต่ "จำนวนเฉพาะ" 3 ตัวนี้เท่านั้น

ช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง นักฟิสิกส์ชื่อดัง ฟรีมาน ดาย์สัน(Freeman Dyson) ร่วมกับนักคณิตศาสตร์อีกท่านหนึ่ง พยายามหาวิธีที่จะพิสูจน์ Ramanujan"s congruence โดยได้ประดิษฐ์เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า Rank ซึ่งทำให้เขาสามารถแยก Partition ของตัวเลขให้อยู่เป็นกลุ่มของตัวเลขที่มีขนาดเท่าๆ กัน


อย่างไรก็ดี แนวคิดของดาย์สัน ใช้ได้กับกรณี congruence 5 และ congruence 7 แต่ใช้ไม่ได้กับกรณีของ congruence 11 ดาย์สันจึงได้เสนอแนวคิดว่า น่าจะมีเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่จะสามารถใช้ได้กับทั้ง 3 congruence เขาเรียกชื่อมันเล่นๆ ว่า "crank" นักคณิตศาสตร์เรียกว่า Crank conjecture ซึ่งอยู่ยาวนานถึง 40 ปี จนกระทั่งเมื่อ 20 ปีที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์ George Andrews แห่ง Penn State University และ Frank Garvan ได้พบ Crank สำหรับ congruence 11 เป็นผลสำเร็จ หลังจากการค้นพบครั้งนั้นนักคณิตศาสตร์คิดว่าคงไม่มีการค้นพบใหม่เกี่ยวกับเรื่องนี้อีกแล้ว Crank conjecture ได้พิสูจน์แล้วอย่างสมบูรณ์

พอปลายทศวรรษที่ 90 นักคณิตศาสตร์ Ken Ono (อาจารย์ที่ปรึกษาของ Mahlburg) ได้ศึกษางานในสมุดบันทึกของรามานุจัน และค้นพบว่า ทุกๆ จำนวนเฉพาะ ไม่แต่เฉพาะ 5, 7, และ 11 มี congruence ทั้งสิ้น Ramanujan"s congruences เป็นส่วนเริ่มต้นของความสัมพันธ์ที่ใหญ่กว่า ในการพิสูจน์ Ono พบว่าความสัมพันธ์ระหว่าง Partition number สามารถอธิบายด้วยทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า modular forms แต่ก็ยังไม่เป็นที่แน่ชัดว่าทำไมจำนวนเฉพาะถึงมีคุณสมบัติดังกล่าว จนกระทั่ง Mahlburg ได้พิสูจน์ว่า ทฤษฎี crank สามารถขยายไปยังจำนวนเฉพาะได้ทุกจำนวน

ทฤษฎีเกี่ยวกับ Partition ไม่ได้เป็นที่สนใจเฉพาะในหมู่นักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีการประยุกต์ในหลายๆ สาขา ไม่ว่าจะเป็นในฟิสิกส์อนุภาค หรือแม้แต่การเข้ารหัสของบัตรเครดิตก็ต้องอาศัยความรู้ทางคณิตศาสตร์แขนงนี้ด้วยเช่นกัน



แยก Partiition ของ "เลข 9" ออกมาดูเล่นๆ มีอยู่ 30 อัน

9,

8+1, 7+2, 6+3, 5+4,

1+1+7, 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3,

1+1+1+6, 1+1+2+5, 1+1+3+4, 1+2+2+4, 1+2+3+3, 2+2+2+3,

1+1+1+1+5, 1+1+1+2+4, 1+1+1+3+3, 1+1+2+2+3, 1+2+2+2+2,

1+1+1+1+1+4, 1+1+1+1+2+3, 1+1+1+2+2+2,

1+1+1+1+1+1+3, 1+1+1+1+1+2+2,

1+1+1+1+1+1+1+2,

1+1+1+1+1+1+1+1+1

อ้างอิงhttp://artsmen.net/content/show.php?Category=technoboard&No=3614

Today, there have been 1 visitors (3 hits) on this page!
=> Do you also want a homepage for free? Then click here! <=